DIDACTICAS DE LAS MATEMATICAS
1. PUNTO DE PARTIDA: EL PROBLEMA DE PÓLYA
La confusión entre problemas docentes
y problemas de investigación didáctica
proviene, en gran parte, de la aceptación implícita y acrítica de que las
nociones que se emplean en la cultura escolar para hablar de la enseñanza y el
aprendizaje de las matemáticas son también válidas para formular problemas de
investigación didáctica.
Postulamos,
efectivamente, que la cultura escolar contiene un conjunto de nociones y de ideas dominantes expresables con dichas nociones, que determinan
absolutamente la problemática docente, esto es, el tipo de preguntas que pueden
ser planteadas y el tipo de respuestas aceptables en las instituciones
docentes. Este conjunto de ideas dominantes no constituyen propiamente un
modelo explícito y coherente del proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas,
pero forma una red muy fina, defendida por los profesores más comprometidos en
las tareas de renovación e innovación del sistema de enseñanza. Las propias
autoridades educativas refuerzan este conjunto de ideas dominantes porque
éstas, al ser expresables en el lenguaje del profesor, parecen adecuarse muy
bien para formular los problemas “reales” de la enseñanza y del aprendizaje en
el aula (Gascón, 1999).
Como suele suceder en todas
las instituciones, las nociones que se usan en la cultura escolar se acaban
convirtiendo, para los sujetos de la propia institución, en nociones
transparentes y de una pertinencia
incuestionable para describir la vida institucional. Además, la
permanencia de dichas nociones suele prolongarse más que la vida media de los
sujetos de la institución.
Algunas de dichas nociones
como, por ejemplo: problema rutinario (o
“problema mecánico”), algoritmo, técnica básica, problema
creativo (o “problema de pensar”),
estrategia compleja de resolución de
problemas, concepto matemático, teorema, definición, demostración,
aritmética, álgebra, estadística, geometría, cálculo, etc., se utilizan para describir las matemáticas
escolares. Pero en la cultura escolar también encontramos otras nociones que,
juntamente con las anteriores, sirven para hablar de la relación de los alumnos
a la matemática escolar. Entre éstas podemos citar, por ejemplo: motivación, actitud hacia las matemáticas, enseñanza
activa, aprendizaje significativo, tratamiento de la diversidad, conocimientos
matemáticos (de los alumnos), capacidad
de abstracción, intuición geométrica,
capacidad de trabajo, habilidad numérica, etc.,
Si analizamos en profundidad
algunos de los problemas docentes que se enuncian utilizando estas nociones,
veremos que merecen un estudio científico serio y, por lo tanto, requieren la utilización de modelos que deberá
elaborar la didáctica de las matemáticas (Gascón, 1994 y 2004; Bosch y Gascón,
2002). Así, por ejemplo, uno de los problemas docentes más recurrentes en las
actuales instituciones escolares puede formularse como sigue:
¿Qué papel que juegan los conocimientos
matemáticos del alumno, así como su actitud hacia las matemáticas y hacia su
aprendizaje, en su rendimiento escolar?
Si nos situamos
en el ámbito de una teoría didáctica concreta y si aceptamos que ese problema
docente es directamente traducible a un problema de investigación didáctica,
entonces bastará con cambiar levemente el enunciado:
¿Qué papel juega la modelización (propuesta
por dicha teoría) de los conocimientos matemáticos y de las actitudes de los
alumnos, en la explicación de los hechos didácticos como, por ejemplo, el
rendimiento escolar o el tipo de errores que cometen los alumnos?
Pero, en el caso
que dicha cuestión sea pertinente, es razonable suponer que la respuesta no
tiene porqué ser genérica y uniforme para todo tipo de conocimientos
matemáticos ni para todo tipo de hechos didácticos. Podemos suponer que la
respuesta dependerá del tipo de problema
didáctico que se aborde y de los fenómenos
didácticos particulares que se quieran esclarecer. Sería más adecuado, en
nuestra opinión, partir de un tipo concreto de problemas didácticos y analizar
el papel que juegan en la explicación de los mismos los diferentes elementos
del modelo didáctico utilizado sin prejuzgar, de antemano, la naturaleza de
dichos elementos.
Hemos elegido como punto de partida un problema docente clásico en las instituciones escolares al que todas las reformas de las
matemáticas de los últimos decenios han intentado responder sin éxito. Lo denominaremos el problema de
Pólya porque constituye la problemática central de la tradición del
“Problem Solving”, iniciada por George Pólya en 1945 y profundizada en Pólya
(1954 y 1962-5). La primera formulación de dicho problema puede hacerse
utilizando nociones de la cultura escolar:
Una vez que los estudiantes
dominan las técnicas “básicas” o elementales y poseen los conocimientos
matemáticos “necesarios”, ¿cómo conseguir que sean capaces de construir y
utilizar adecuadamente estrategias
complejas para resolver “verdaderos” problemas matemáticos o problemas
“creativos”?
Múltiples investigaciones han mostrado que la
construcción y utilización pertinente de una estrategia compleja para abordar
con eficacia una tarea matemática no rutinaria es muy difícil para la inmensa
mayoría de los estudiantes (Kilpatrick, 1967; Landa, 1972; Bell, 1976; Lesh y Landau, 1983; Schoenfeld, 1985; Gascón, 1989). La dificultad no disminuye
significativamente aunque la tarea matemática sea “elemental” en relación a la
formación matemática de los estudiantes (Roa, 2000)[4] ni, tampoco, por el hecho
de que se haya comprobado experimentalmente que los estudiantes dominan
efectivamente las técnicas “simples” que coordinadas adecuadamente permitirían
construir la estrategia compleja en cuestión (Landa, 1972)[5].
A pesar de esta gran dificultad, el
aprendizaje de la resolución de problemas no rutinarios es considerado, cada
vez más, como un objetivo irrenunciable de la formación matemática escolar.
Esta idea, que ya fue expresada por Pólya hace más de 40 años, es hoy día
vigente tanto en la comunidad escolar como en la propia comunidad matemática:
À tous les niveaux de
l’éducation, on devrait inculquer à l’étudiant en même temps qu’une somme
d’information, un certain degré de savoir-faire.
Qu’est-ce que le savoir-faire en mathématiques ? L’aptitude à résoudre des
problèmes – non pas les problèmes de routine, mais les problèmes impliquant un
certain degré d’indépendance, de jugement, d’originalité, de création. C’est
pourquoi, le premier et principal devoir de l’enseignement des mathématiques
dans les lycées est de souligner la
méthodologie dans la résolution de problèmes. (Pólya 1962-65, p. x).
El problema de Pólya admite múltiples
formulaciones más o menos generales que incluyen a menudo referencias a la
actividad de modelización de sistemas
extramatemáticos. Así,
por ejemplo, Mogens Niss lo reformula como sigue:
There is no automatic transfer from a solid knowledge of mathematical
theory to the ability to solve non-routine mathematical problems, or the
ability to apply mathematics and perform mathematical modelling in complex,
extra-mathematical contexts. For this to happen both problem solving and
modelling have to be made object of explicit teaching and learning, and there
is ample evidence that it is possible to design teaching settings so as to
foster and solidify these abilities (Niss 1999, p. 21).
Uno de los objetivos
iniciales de este trabajo[6] era el de analizar
el papel que podría jugar la modelización de “los conocimientos del alumno” en
el esclarecimiento de los hechos didácticos relacionados con el problema de
Pólya. Pero, previamente, es necesario abordar una cuestión más fundamental y,
en cierta forma, anterior: ¿Cómo se puede reformular el problema de Pólya en
términos de un problema de investigación didáctica? ¿En qué ámbito de hechos y
fenómenos didácticos podrá ser enunciado e interpretado adecuadamente dicho
problema? ¿Cuál es el “sistema empírico” que debemos modelizar (en particular
cuál es la amplitud más adecuada de dicho sistema) y qué tipo de modelización
es la más pertinente para abordar dicho problema?
Postulamos que el
esclarecimiento de estas cuestiones nos permitirá empezar a dar una respuesta al problema de Pólya y, lo que es más importante, pondrá de
manifiesto la necesidad de delimitar con cierta precisión la amplitud y la
naturaleza del espacio didáctico en
el que cada problema puede ser tratado.
2. EL PROBLEMA DE PÓLYA COMO PROBLEMA DIDÁCTICO
El
problema de Pólya, que tomamos como punto de partida, puede ser considerado
como una versión “modernista” del problema praxeológico del profesor: ¿qué se debe
enseñar y cómo enseñarlo? En efecto, cuando se postula que
la actividad de resolución de problemas debe ser el núcleo de la enseñanza
escolar de las matemáticas, tal como viene proponiendo la corriente del Problem
Solving desde la década de los 80, se enfatiza la importancia de organizar el
currículum de matemáticas en torno a la actividad de resolución de problemas
“no rutinarios”. Entonces se denuncian las prácticas escolares habituales que
centran la enseñanza de las matemáticas en los contenidos y en la resolución
mecánica de ejercicios estereotipados. En estas circunstancias la cuestión del
“¿qué
se debe enseñar y cómo enseñarlo?” se acaba transformando
en: “¿qué problemas matemáticos enseñar, cómo enseñar a resolverlos y cómo
conseguir que los alumnos elaboren por sí mismos estrategias de resolución de
problemas no rutinarios?”
Así, por
ejemplo, Alan H. Schoenfeld denuncia la práctica escolar tradicional que
descompone el saber matemático en pequeñas porciones y asigna a los estudiantes
un papel pasivo en la construcción y utilización de los métodos de resolución
de problemas:
[I]nstruction
has traditionally focused on the content aspect of knowledge. Traditionally one
defines what students ought to know in terms of chunks of subject matter, and
characterizes what a student knows in terms of the amount of content that has
been « mastered ». As natural and innocuous as this view of « knowledge
as substance » may seem, it has serious entailments. From this
perspective, « learning mathematics » is defined as mastering, in
some coherent order, the set of facts and procedures that comprise the body of
mathematics. The route to learning consists of delineating the desired subject
matter content as clearly as possible, carving it into bite-sized pieces, and
providing explicit instruction and practice on each of those pieces so that
students master them. From the content perspective, the whole of a student's
mathematical understanding is precisely the sum of these parts. […] One
consequence of experiencing the curriculum in bite-size pieces is that students
learn that answers and methods to problems will be provided to them; the
students are not expected to figure out the methods by themselves. Over time
most students come to accept their passive role, and to think of mathematics as
« handed down » by experts for them to memorize […]. (Schoenfeld 1992).
En la
tradición del Problem Solving se supone más o menos explícitamente que la
enseñanza de la resolución de problemas (en el sentido de Pólya) modificaría
esta práctica escolar tradicional al dar cabida a una actividad auténticamente
matemática en la que los estudiantes construirían ellos mismos los métodos de
resolución en lugar de aplicarlos mecánicamente. Aparece así una idea, bastante
ingenua, que sigue actualmente vigente en las directrices curriculares de los Principles and Standards for School Mathematics del NCTM (http://standards.nctm.org),
según la cual la resolución de problemas, además de ser una dimensión esencial
de la actividad matemática, tendría una función organizadora y articuladora
de los diferentes contenidos del currículum:
Good problems will
integrate multiple topics and will involve significant mathematics […] Problems
and problem solving play an essential role in students’ learning of
mathematical content and in helping students make connections across
mathematical content areas.
Esta hipotética
función de la actividad de resolución de problemas se produciría a un nivel
curricular global, esto es, el nivel
de la organización general del currículum de matemáticas que se corresponde con
el nivel de la disciplina en la
cadena de niveles de codeterminación
didáctica propuesta por Yves Chevallard (2001 y 2002):
Sociedad ® Escuela ® Pedagogía ® Disciplina ® Área ® Sector ® Tema ® Cuestión
Pero la actividad de resolución de problemas puede también situarse en los niveles menos genéricos que la disciplina:
(a)
Puede plantearse en el nivel puntual en
el que cada problema está asociado a una cuestión particular
relativamente (o completamente) aislada del resto de los contenidos matemáticos
escolares. La resolución de cada problema es considerada en este nivel como un
objetivo en sí mismo y se mantiene relativamente separada del resto de las
actividades matemáticas, incluso “voluntariamente”, a fin de impedir que los
problemas tratados sean relacionados por razones de “proximidad didáctica” con
un dominio particular de las matemáticas y, en consecuencia, con la utilización
de las técnicas propias de ese dominio.
(b)
En el nivel local,
la actividad de resolución de problemas se sitúa en el ámbito del estudio de
los diferentes temas matemáticos del currículum (como, por ejemplo, las
construcciones geométricas con regla y compás, las sucesiones recurrentes o la
optimización de funciones) y se extiende al estudio de la clase o clases de
problemas relativos a dichos temas. En este nivel los problemas se estudian en
tanto que especimenes de un tipo de problemas.
(c)
Por último, la actividad de
resolución de problemas también puede situarse en los niveles más
genéricos que el nivel local.
Así, puede hablarse de “problemas de trigonometría”, “problemas de geometría” y
hasta de “problemas de matemáticas”[7].
Es interesante subrayar que cuando la resolución de problemas se sitúa en el
nivel disciplinar, esto es, cuando los problemas
matemáticos se plantean sin hacer referencia a ningún tema, sector ni área
concreta del currículum de matemáticas entonces, paradójicamente, los problemas
aparecen tan descontextualizados y aislados como cuando la resolución de
problemas se sitúa en el nivel puntual.
2.1. La resolución de problemas en el nivel puntual
Muchos
trabajos relativos a la resolución de problemas de matemáticas, y la inmensa
mayoría de los que abordan el problema de Pólya de una forma más o menos
explícita, sitúan la actividad de resolución de problemas en el nivel puntual.
El sistema empírico observado en dichas investigaciones es generalmente un
grupo de alumnos en situación escolar que tienen que resolver un problema no
rutinario, suponiendo que disponen de los conocimientos necesarios para ello.
El objetivo de la observación consiste en el análisis de la cognición
o pensamiento
matemático de los alumnos, por lo que podemos decir que dichas
investigaciones atribuyen al problema de Pólya un carácter esencialmente
cognitivo.
Así, por
ejemplo, Alan H. Schoenfeld (1992, p. 348) afirma que existe un acuerdo general
sobre el hecho de que el marco en el que se sitúan las cuestiones relativas al
pensamiento matemático y a la resolución
de problemas está determinado por cinco aspectos o categorías de la cognición:
(a)
The knowledge base: hechos y procedimientos almacenados en la “memoria a
largo plazo” así como la forma de acceder a ellos.
(b)
Problem solving strategies: reglas heurísticas generales de ejecución
incluyendo una caracterización suficientemente detallada de las versiones
específicas (prescriptivas) de las heurísticas generales.
(c)
Monitoring and control: decisiones globales que regulan la selección
y la evaluación tanto de los conocimientos como de las heurísticas de ejecución
(este aspecto de la cognición incluye las heurísticas de control o heurísticas
de segundo orden).
(d)
Beliefs and affects: creencias y actitudes respecto de las matemáticas y
la resolución de problemas.
(e)
Practices (realizadas en comunidad y en un entorno escolar).
En este marco,
el problema de Pólya se reformula como un problema básicamente cognitivo y se
descompone en un conjunto de cuestiones que, naturalmente, se expresan en
términos de la incidencia potencial de los diferentes aspectos de la cognición
sobre la capacidad de construir
y utilizar adecuadamente estrategias
complejas para resolver problemas matemáticos no rutinarios. En concreto,
algunos de los problemas de investigación didáctica que se desprenden de dicha
problemática pueden formularse como sigue (Schoenfeld, op.
cit.):
¿Cómo describir y representar las estructuras cognitivas asociadas a los
contenidos matemáticos y cómo elaborar una interrelación dinámica entre ellos y
los otros aspectos de la resolución de problemas? ¿En qué forma interactúa el
conocimiento del dominio matemático con las estrategias, el control, las
creencias y las prácticas? ¿Qué tipo y que cantidad de entrenamiento (training), y sobre qué tipo de
problemas, es necesario para la adquisición de estrategias particulares de
resolución? ¿Los mecanismos de control dependen del dominio matemático
considerado? ¿Cómo se integran la dimensión cognitiva y la afectiva? ¿En qué
forma la entrada en una comunidad matemática y en las prácticas de esta
comunidad (“enculturation”) permite
comprender mejor el desarrollo del pensamiento matemático?
La investigación en
esta línea de desarrollo del Problem
Solving se interesa, como ya hemos indicado, por la actividad que realiza
un sujeto (o un grupo de sujetos) cuando se enfrenta a la resolución de un
problema concreto y relativamente aislado. Se quiere evitar que el sujeto
conozca el tipo al que pertenece el problema matemático en cuestión. En otros
términos, la actividad de resolución de problemas no se sitúa en un entorno
matemático delimitado de antemano, puesto que se supone implícitamente que la
detección del tipo de problemas al
que pertenece el problema en cuestión forma parte del trabajo de resolución de
éste. Por lo tanto, en coherencia con el modelo docente modernista y a fin de que la actividad del sujeto resolutor sea
“libre y creativa”, es necesario proponer constantemente problemas nuevos y, a
poder ser, completamente independientes entre sí: « Problem solving, in the spirit of Pólya, is learning to grapple with
new and unfamiliar tasks, when the relevant solution methods (even if only
partly mastered) are not known. » Es precisamente esta actividad de
resolución de problemas inicialmente aislados la que constituye el sistema
empírico u objeto de análisis. Los
datos empíricos que se toman en consideración están esencialmente contenidos en
este ámbito.
Así, por ejemplo,
se analizan las estrategias utilizadas por un individuo o grupo de individuos
ante un problema de límites de sucesiones recurrentes como el siguiente (tomado
de Schoenfeld, 1992):
Let the real numbers a0 and a1 be given. Define the sequence {an} by an
= 1/2 (an - 1 +
an - 2) for
each n ³ 2. Does the sequence {an}
converge? If so, to what value?
El análisis de este
caso supone que los sujetos que pretenden resolver el problema están bastante
familiarizados con el dominio matemático de las sucesiones numéricas y con el
problema de su convergencia, pero también supone que dichos sujetos no deben
conocer el tema de las sucesiones
recurrentes lineales de orden n ni,
en particular, su tratamiento algebraico en términos de potencias de matrices.
Esta segunda
hipótesis es necesaria porque, de lo contrario, en este universo matemático, el
problema enunciado se convierte automáticamente en un problema rutinario y, por
tanto, trivial[8]. Para el modernismo, que está en la base
de esta línea de desarrollo del Problem Solving, lo que hace que este problema
sea interesante es, precisamente, su estudio en tanto que problema aislado, y
no el estudio del tipo (o de los tipos) de problemas al que pertenece.
2.2.
Una posible superación del nivel puntual: la evolución de los esquemas
En el marco de la teoría
APOS (Asiala et al., 1996; Dubinsky, 1996 y 2000) podemos encontrar una
interesante reformulación del problema de Pólya utilizando la evolución de los esquemas como noción básica del análisis. Esta teoría considera que
un esquema es una colección coherente
de acciones, procesos, objetos y otros
esquemas previamente construidos que
son coordinados y sintetizados por el individuo para formar estructuras
cognitivas utilizables en situaciones problemáticas. El sujeto puede reflexionar
sobre un esquema y transformarlo como
si se tratara de un objeto sobre el
que pueden aplicarse acciones de más
alto nivel dando origen a nuevos procesos,
objetos y esquemas para construir nuevos conceptos. Es de esta forma como el
desarrollo de las acciones, procesos y objetos continúa reconstruyendo los esquemas existentes.
Basándose en el trabajo de
Piaget y García (1982) sobre el “paralelismo” entre el modelo general del
desarrollo del conocimiento científico (en particular, matemático) y el mostrado
en los estudios psicogenéticos, algunas investigaciones que se sitúan en el
ámbito de la teoría APOS postulan que el conocimiento, que se desarrolla
siguiendo el mecanismo general de equilibración,
recorre, siempre en el mismo orden, tres estadios: intra ® inter ® trans y que estos niveles o estadios se
encuentran siempre que se analiza el desarrollo de un esquema. En el nivel intra los sucesos y objetos se analizan
en términos de sus propiedades internas. Las explicaciones en este nivel son
puntuales y particulares. En el nivel inter
el estudiante usa, compara y reflexiona sobre los sucesos y objetos que
aparecían aislados en el estadio anterior y construye relaciones y
transformaciones entre ellos. En este nivel de las relaciones inter-objetales se encuentran las
“razones” que explican las propiedades de los objetos o de los sucesos
descubiertas en el nivel intra.
Cuando el estudiante reflexiona sobre dichas coordinaciones y relaciones
aparecen nuevas estructuras. A través de la síntesis de las transformaciones
del nivel inter el estudiante toma
conciencia de la completitud del esquema. En el nivel trans puede percibir, apoyándose en las propiedades de las
estructuras que se han construido con las transformaciones interobjetales,
nuevas propiedades globales inaccesibles desde los otros niveles. Resulta, en
definitiva que en cada estadio de la tríada el estudiante reorganiza
conocimientos adquiridos durante el estadio anterior.
Utilizando este modelo general del desarrollo de los esquemas cognitivos, y
teniendo en cuenta que en la teoría APOS dicho desarrollo está encaminado a la
comprensión (o construcción) de los conceptos,
se puede reformular el problema de Pólya en los siguientes términos:
¿Hasta qué punto los estudiantes pueden relacionar los
distintos conceptos de cada parte de las matemáticas para formar un todo que
puedan utilizar conjuntamente en la resolución de problemas? (Trigueros, 2003).
Siguiendo en el marco de la teoría APOS también es
posible encontrar reformulaciones del problema de Pólya que lo sitúan en un
área particular de la matemática escolar como, por ejemplo, el cálculo
diferencial:
Our objective in this
study was to analyze students’ understanding of the calculus concepts used in
solving a nonroutine calculus graphing problem and to determine, as
specifically as possible, how students integrated their understanding of these
calculus concepts, at which point(s) students exhibited the most difficulties,
and how students attempted to overcome these difficulties. (Baker, Cooley
y Trigueros, 2000)
En este trabajo las autoras pretenden elaborar un
modelo específico del desarrollo de un
esquema concreto, el “calculus
graphing schema” (CGS) y situar a cada estudiante en un estadio de dicho
desarrollo. Para ello, utilizan los datos que proporcionan las respuestas de
una muestra de 41 estudiantes a una tarea matemática concreta cuyo enunciado es
el siguiente:
Esquematiza la
gráfica de una función h que
satisface las siguientes condiciones:
· h es
continua y h(0) = 2;
· h’(–2)
= h’(3) = 0 y ((x ® 0) Þ (h’(x)
® ¥));
· h’(x) > 0 cuando – 4 < x < – 2 y cuando – 2 < x < 3;
· h’(x) < 0 cuando x < – 4 y cuando x >
3;
· h’’(x) < 0 cuando x < – 4; cuando – 4 < x
< – 2 y cuando 0 < x <
5;
· h’’(x) > 0 cuando – 2 < x < 0 y cuando x > 5;
· ((x ® – ¥) Þ (h(x)
® ¥)) y ((x
® ¥) Þ (h(x)
® – 2));
A los
estudiantes que tenían éxito, aunque sólo fuese parcial, en la representación
de h, se les planteaba la siguiente
cuestión adicional: Si la condición de continuidad se elimina, manteniendo el
resto de las condiciones, ¿existen otras posibles gráficas que cumplan todas
las condiciones restantes?
Los datos muestran que los estudiantes tienen
diferentes niveles de habilidad para coordinar, por un lado, las propiedades de la gráfica determinadas por las condiciones que cumple la
función y, por otro, para coordinar las propiedades entre los intervalos contiguos. Por todo ello, las autoras postulan
que para describir el esquema CGS en términos de la triada, éste debe
descomponerse en dos subesquemas –esquema
de las propiedades y esquema de los
intervalos– y combinar los desarrollos de éstos, en términos de la triada.
Los resultados cuantitativos ponen de manifiesto que
el porcentaje de estudiantes que se sitúa en el estadio trans para ambos subesquemas y que, por tanto, presenta un
desarrollo relativamente completo del esquema CGS, no alcanza el 20% (8 de un
total de 41). Las autoras intentan explicar estos hechos subrayando algunas
propiedades particulares de la función como posibles causas de las
dificultades: la cúspide en x = – 4;
la tangente vertical en x = 0; la
eliminación de la condición de continuidad y las relaciones entre la primera y
la segunda derivadas.
Lo que
queremos subrayar en este ejemplo es que, en concordancia con las tesis de la epistemología constructivista que
sirve de fundamento a la teoría APOS, las autoras aceptan implícitamente el
postulado de la presunta suficiencia
de los datos empíricos que proporciona el estudio del desarrollo psicogenético
para explicar la construcción escolar de los conocimientos matemáticos y, en
este caso particular, para explicar las dificultades que muestran los alumnos
para construir y utilizar adecuadamente una estrategia de resolución de problemas no rutinarios de
representación gráfica de funciones. A pesar de que su análisis supera el nivel
puntual –puesto que el tipo de problema que se propone engloba múltiples
cuestiones matemáticas así como la relación entre ellas–, no se intenta poner
en relación la actividad de los estudiantes con el trabajo matemático realizado
previamente en la institución docente ni, todavía menos, con la actividad
matemática que no ha podido ser realizada como consecuencia de las
restricciones institucionales. Volveremos sobre este ejemplo después de situar
la actividad de resolución de problemas de matemáticas y, por tanto, el
problema de Pólya, en el ámbito global del estudio
de las matemáticas en las instituciones escolares.
2.3. La resolución de problemas en el ámbito del estudio
escolar de las matemáticas
Hasta aquí hemos
descrito muy brevemente la tendencia, predominante entre las investigaciones
que se sitúan en el enfoque cognitivo, de situar la actividad de resolución de
problemas de matemáticas en niveles muy cercanos al nivel puntual. En todos esos casos el problema de Pólya se acaba
reformulando en términos de la resolución de problemas aislados. Pero existen otras maneras de formular el problema de
Pólya que se diferencian de las anteriores por situar la resolución de
problemas en el ámbito global del estudio escolar de las matemáticas. Esta
discrepancia inicial provoca, a la larga, diferencias importantes en la
naturaleza de los problemas didácticos
que se acabarán construyendo y abordando en cada caso[9].
La
conceptualización que propone la TAD permite hacer un nuevo paso en esta
dirección al postular que en la vida de
las instituciones nunca se estudian problemas aislados. Lo que importa no
es el problema concreto que se plantea para ser resuelto (salvo en caso de vida
o muerte) sino lo que se hará después con la solución obtenida. Sólo interesan
los problemas fecundos que están llamados a reproducirse y desarrollarse para
formar tipos de problemas cada vez más amplios y complejos, tipos de problemas
cuyo estudio provocará nuevas necesidades tecnológicas que, a su vez, permitirán
construir y justificar técnicas “nuevas” capaces de resolver nuevos tipos de
problemas y hasta problemas formulados en el nivel tecnológico respecto de la
organización matemática inicial. Esta hipótesis antropológica puede
sintetizarse diciendo que el proceso de
estudio de un tipo de problemas desemboca en la reconstrucción
institucional de organizaciones o praxeologías matemáticas de complejidad
creciente.[10]
En la TAD el proceso de estudio se concibe como un proceso de reconstrucción de
organizaciones matemáticas (en adelante utilizaremos la abreviatura OM) cada
vez más amplias y completas y, por lo tanto, se considera como un proceso
fuertemente integrado y articulado. Es por ello que, en el ámbito de esta
teoría, el problema de Pólya puede interpretarse como un aspecto y hasta como
un efecto del fenómeno de la desarticulación
o atomización escolar del currículum
de matemáticas (Chevallard, Bosch y Gascón 1997, pp. 119-136) que presenta múltiples manifestaciones en todos los niveles
de codeterminación didáctica (Disciplina
® Área ® Sector ® Tema ® Cuestión) tal como resumimos a continuación.
(a)
En la enseñanza de las matemáticas de
Primaria y Secundaria, pero también de manera creciente en la Universidad,
existe una tendencia a “atomizar” los contenidos matemáticos en una serie cuestiones puntuales relativamente
independientes entre sí. La desconexión entre las diferentes cuestiones es tal
que se corre el peligro de convertir la matemática enseñada en un conjunto de
anécdotas o “adivinanzas” aisladas. Correlativamente las técnicas matemáticas
que se utilizan también aparecen aisladas y presentan una gran rigidez que se manifiesta especialmente
en el paso de Secundaria a la Universidad y, últimamente, en el paso de la
Enseñanza Secundaria Obligatoria (12-16 años) al Bachillerato (16-18 años).
Existen pruebas empíricas de los diferentes aspectos de esta rigidez extraídas
tanto de la actividad matemática de los alumnos como de los libros de texto y
demás documentos curriculares (Bosch, Fonseca y Gascón, 2004). Podríamos
resumir esta tendencia diciendo que en la práctica matemática escolar se
observa una influencia creciente del tecnicismo
que identifica
implícitamente “enseñar y aprender matemáticas” con “enseñar y aprender técnicas simples” (principalmente algorítmicas) olvidando los “auténticos”
problemas que son aquellos cuya dificultad principal consiste en escoger las
técnicas adecuadas para construir una “estrategia de resolución”. Estas tendencias tecnicistas
chocan frontalmente con la ideología modernista
imperante en las instituciones docentes y que es, en definitiva, la ideología
que sustenta al movimiento del Problem Solving identificando “enseñar” y
“aprender matemáticas” con enseñar y
aprender una actividad exploratoria,
libre y creativa, de problemas no
triviales (Gascón, 2001a). Podría decirse que es este choque, entre la
“realidad escolar” cada vez más tecnicista y la “ideología” modernista, el que
hace especialmente visible el problema de Pólya en las instituciones docentes
actuales.
(b)
Pero la desarticulación escolar del
currículum de matemáticas no se produce únicamente en el nivel de las
cuestiones matemáticas que se proponen para ser estudiadas en la escuela.
Dejando para más adelante el análisis detallado de la escasa articulación de
las cuestiones matemáticas que forman parte de cada tema, se constata la ausencia de una estructuración del
currículum a niveles superiores al tema
que se pone de manifiesto, particularmente, en el “abandono” de dichos niveles
por parte del profesor, lo que provoca un retraimiento de su acción sobre el
nivel de los temas (ya sea la
resolución de problemas con regla y compás, la expresión analítica de rectas y
planos en el espacio, el teorema de Pitágoras, los poliedros regulares o las
funciones cuadráticas). Este “encierro en los temas” constituye un fenómeno
didáctico que Yves Chevallard ha calificado como el
“autismo temático del profesor” (Chevallard, 2001 y 2002; Gascón, 2003).
Postulamos que este fenómeno tiene incidencia sobre las dificultades de los
estudiantes para construir y utilizar adecuadamente estrategias complejas de
resolución de problemas.
(c)
Citemos, por último, la fuerte desconexión entre los
sectores de una misma área de la
matemática escolar –como, por ejemplo, entre la geometría sintética y la geometría
analítica– y entre las diferentes áreas
de la matemática escolar –como, por
ejemplo, entre las áreas de “Geometría” y “Funciones y gráficas” en la
Enseñanza Secundaria Obligatoria española (12-16 años)–. En el caso de las geometrías analítica y sintética, y a pesar de
la continuidad y hasta complementariedad que existe entre ambas, el hecho es
que continúan estudiándose completamente separadas a lo largo de la Enseñanza
Secundaria (sintética en la ESO y analítica en el Bachillerato). La “tozudez”
de este hecho, que se mantiene inalterable a lo largo de las últimas reformas
educativas, parece dar a entender que no se trata de una separación accidental
sino que responde a un fenómeno didáctico-matemático más profundo y que, por lo
tanto, merece ser indagado (Gascón, 2001b). Parece
razonable suponer que la desarticulación en estos niveles “superiores”
dificultará enormemente la construcción y utilización de estrategias complejas
de resolución de problemas, teniendo en cuenta que dicha construcción requiere
combinar técnicas provenientes de diferentes sectores y hasta de diferentes
áreas del currículum de matemáticas.
Si, en coherencia
con el punto de vista de la TAD, consideramos que la desarticulación escolar del currículum de matemáticas incide sobre
el problema de Pólya en todos los niveles de
codeterminación didáctica, entonces podemos reformular dicho problema en los
siguientes términos:
¿Cómo diseñar organizaciones didácticas que permitan articular las cuestiones puntuales dentro de cada tema
(como, por ejemplo, las diferentes cuestiones que se estudian dentro del tema
“Teorema de Pitágoras”), los diferentes temas
que conforman cada uno de los sectores (como, por ejemplo, los diferentes temas
del sector “Trigonometría”), los sectores
de una misma área (como, por ejemplo, los diferentes sectores de la
“Geometría”) y las diferentes áreas
(“Geometría”, “Aritmética”, “Funciones y gráficas”, etc.) de la disciplina
Matemáticas? ¿Cómo organizar un proceso de estudio que provoque la articulación
de las diferentes dimensiones de la actividad matemática escolar, desde el
trabajo más rutinario hasta la resolución de problemas “abiertos” y “creativos”
que se situarían en la “frontera” de las organizaciones matemáticas elaboradas?
Esta nueva
formulación sitúa el problema de Pólya en un espacio didáctico que rebasa el currículum de un curso escolar,
pudiendo abarcar toda una etapa educativa (como, por ejemplo, la Enseñanza
Secundaria Obligatoria) e, incluso, la articulación entre las diferentes etapas
educativas. Es por ello que podemos plantearlo, incluso, en los términos más
genéricos:
¿Cuál debería
ser la estructura y las funciones de los dispositivos de una organización
didáctica escolar que permitiera retomar los contenidos antiguos, incluso los
estudiados en etapas educativas anteriores, para cuestionarlos, desarrollarlos
y articularlos en organizaciones matemáticas cada vez más amplias y complejas?
Estas reformulaciones del
problema de Pólya tienen la virtud de poner de manifiesto que si éste se
formula en el nivel puntual, esto es, si se pretende que los alumnos sean capaces de construir y utilizar adecuadamente estrategias complejas para resolver
“verdaderos” problemas matemáticos, sin modificar la actual estructura global
de la OM escolar (y, en particular, sin conectar y articular adecuadamente los
temas de cada sector y los sectores de cada área del currículum), entonces el
problema de Pólya se convierte en irresoluble. En efecto, la ideología modernista que sustenta el citado
enfoque puntual del problema de Pólya es la misma ideología que sitúa la
resolución de problemas matemáticos “abiertos” como núcleo y objetivo principal
del proceso didáctico y, en consecuencia, extrema el aislamiento y la descontextualización
de los problemas matemáticos con la intención de provocar que la exploración
que realizan los alumnos sea “libre” y “creativa”. En estas condiciones se refuerza la atomización y la
desarticulación del currículum en todos los niveles de codeterminación lo
que acaba impidiendo la solución del propio
problema de Pólya. Este hecho debe ser considerado como un aspecto de la paradoja de la creatividad que puede
describirse como sigue:
Al identificar la actividad matemática “creativa” con una actividad
puntual desligada (“libre”) de las técnicas rutinarias y no sometida a las
restricciones de un proceso de estudio estructurado, la organización escolar
dificulta objetivamente el desarrollo normal de la verdadera creatividad
matemática. Dado que, sin embargo, la escuela otorga un gran valor a la creatividad,
se produce un desfase entre los medios o dispositivos escolares que pone en
juego y los fines que pretende alcanzar. (Chevallard, Bosch y Gascón 1997, p.
290).
3. LA
UNIDAD MÍNIMA DE ANÁLISIS DE LOS
PROCESOS DIDÁCTICOS
En esta sección
pretendemos formular y justificar a la hipótesis central de este trabajo que se
ha materializado en la decisión de situar el problema de Pólya o, mejor, su
reformulación como problema de investigación didáctica, en el ámbito de las
praxeologías (u organizaciones) locales. La
justificación de esta decisión está relacionada con la elección de la unidad de análisis de los procesos
didácticos y, por lo tanto, tendrán consecuencias que van más allá del caso
particular del problema de Pólya para abarcar la amplitud mínima del espacio en
que debe formularse cualquier problema
didáctico.
3.1. Necesidad de elegir una unidad de análisis
Toda
disciplina experimental toma, de manera más o menos explícita, una unidad de
análisis que es, a la vez, el constructo teórico básico y el
ámbito elemental en el que se analizarán todos los datos empíricos. Como
constructo teórico fundamental, la unidad de análisis (su estructura y su
dinámica interna) se debe poder describir utilizando los términos “primitivos”
de la teoría y, como ámbito elemental de la contingencia, debe remitir a un
conjunto de indicadores empíricos. La unidad de análisis elegida ocupará, por
lo tanto, un lugar central y privilegiado en la relación entre la teoría y los
datos empíricos y constituirá así uno de los rasgos esenciales para
caracterizar a la disciplina en cuestión.
Es
evidente que cuando se elige una unidad de análisis particular se están tomando
decisiones sobre:
·
El tipo de datos empíricos
que se van a tener en cuenta (y, por tanto, sobre los datos
que se van a ignorar).
·
Las formas posibles de interpretar dichos
datos.
·
El tipo de relaciones
que se van a priorizar en el análisis y que serán, en última instancia,
relaciones entre elementos constitutivos de la unidad elegida.
·
El tipo de problemas que
la disciplina va a considerar.
Un ejemplo
histórico interesante lo constituye la defensa que hace Piaget (1936) de las
ventajas del esquema como unidad de análisis del pensamiento, en
contraposición tanto a la pareja estímulo/respuesta del
empirismo asociacionista, como a las formas de
la teoría de la Gestalt y al juego de ensayos/errores
de Thorndike. Para Piaget la elección de estas unidades implica, en cada caso,
la aceptación implícita de determinadas hipótesis sobre el funcionamiento de la
inteligencia. Su elección del esquema está basada en la unidad
estructural del mismo, esto es, en la indisociabilidad entre la
acción del sujeto y el objeto sobre el que ejecuta esta acción, así como en la unidad
funcional del propio esquema que es la que hace posibles los
intercambios entre el sujeto y el objeto gracias a los mecanismos de
asimilación y acomodación.
Cuando se
pretende aplicar directamente la epistemología genética de Piaget para explicar
los procesos de construcción de conocimiento (por
ejemplo, matemático) en el aula, cosa que
Piaget no sólo no pretendía sino que combatió explícitamente, entonces existe
cierto consenso respecto de las limitaciones que comporta la elección del
esquema piagetiano como unidad de análisis (Coll, 2000):
(1)
El esquema está centrado en los
aspectos más generales de la interacción sujeto/objeto y
es poco sensible a los aspectos más específicos del
contenido sobre el que el sujeto ejecuta la acción.
(2)
El esquema tiene una naturaleza
esencialmente diádica mientras que las “situaciones de aprendizaje” escolar
son también “situaciones de enseñanza”, esto es, situaciones comunicativas en
las que los alumnos construyen conocimientos con otros alumnos y con el
profesor. La unidad de análisis debería, por tanto, permitir llevar a cabo un análisis
al menos triádico: sujeto/objeto/otros sujetos.
(3)
“El esquema piagetiano se revela
como una unidad de análisis insuficiente ya que no integra la mediación
social externa ejercida por los [sistemas de] signos ni puede, en
consecuencia, dar cuenta de su eventual función estructurante” (Coll, 2000, p.
52).
En general
todas las teorías didácticas, incluso las que son más o menos deudoras de la
epistemología genética, toman como unidad de análisis de los procesos
didácticos constructos diferentes y en general más comprensivos que el esquema
piagetiano. En todos los casos, además, la unidad de análisis elegida involucra
de una manera más o menos explícita un modelo epistemológico (más o menos
general) de las matemáticas. Así, por ejemplo, hemos visto que la teoría APOS
toma como unidad mínima de análisis la evolución
de
un esquema que constituye, a su vez, un modelo epistemológico
dinámico (local) de un concepto matemático: “La noción de esquema y su
evolución se muestra como una herramienta que permite dar cuenta del
comportamiento observable de los estudiantes y [...] que permite utilizar los
resultados de los estudios en el diseño de materiales de enseñanza que hagan
mayor énfasis en las relaciones entre los diferentes conceptos” (Trigueros,
2003).
3.2. La praxeología local como unidad de análisis de los
procesos didácticos
Los desarrollos precedentes ponen en primer
plano una cuestión fundamental: ¿cuál es, para una teoría concreta, la unidad de análisis de los procesos
didácticos en referencia a la cual pueden formularse y abordarse los
problemas didácticos como, por ejemplo, el problema de Pólya? La respuesta a
esta pregunta es, en última instancia, una hipótesis
que determinará en cada caso el tipo de problemas que la teoría en cuestión
considerará como “problemas didácticos” y, por tanto, constituirá un rasgo
esencial y distintivo de la misma. Resulta, en
definitiva, que lo que consideraremos un “problema didáctico” es también una
construcción de la teoría didáctica y, por tanto, comparte con ella el carácter
de hipótesis provisional. En lo que sigue intentaremos aproximarnos a la
respuesta que propone la TAD a esta cuestión.
Hemos mostrado que el problema de Pólya debe
situarse, más allá del nivel puntual, en relación con las OM locales que se proponen para ser
estudiadas en el nivel temático y sin
olvidar los niveles superiores de los que depende la razón de ser de los temas del currículum. De hecho, hemos visto que
el problema de Pólya puede reformularse en los términos siguientes:
¿Cómo diseñar y gestionar un proceso didáctico que comprenda todas las
dimensiones de la actividad matemática y que, por lo tanto, permita que los
alumnos resuelvan de una forma integrada, y a lo largo de un mismo proceso de
estudio, todo tipo de problemas matemáticos desde los más “rutinarios” hasta
los más “abiertos” y “creativos”?
En esta nueva formulación se utiliza
implícitamente la primera respuesta que da la TAD a la cuestión de la unidad de
análisis de los procesos didácticos:
La unidad de análisis de los
procesos didácticos debe contener una organización didáctica escolar que
permita construir, como mínimo, una OM local
relativamente completa[11].
Dicho en otras palabras, para describir e interpretar los hechos didácticos hay
que referirlos a una secuencia del proceso didáctico que incluya, por lo menos,
el proceso de reconstrucción escolar de una tal OM local (Bosch, Fonseca, y
Gascón, 2004).
Dada la relatividad institucional del saber
matemático que propugna la TAD, la respuesta anterior presenta ciertas ambigüedades,
empezando por el hábitat en el que viven las OM consideradas. A fin de empezar
a precisar la anterior respuesta, consideremos el siguiente esquema de la transposición didáctica (Chevallard,
1985) que adaptamos a partir del propuesto por Antibi y Brousseau 2003:
|
|
|
|
|
|
|
|
En este esquema, I1 es la
institución productora del saber
matemático, I2 la noosfera,
I3 la institución escolar
e I4 la comunidad de estudio
protagonista del proceso didáctico. El “saber aprendido” está compuesto por
aquellos elementos praxeológicos que, al final del proceso didáctico,
integrarán el medio matemático del grupo
y que, por lo tanto, podrán ser utilizados (por la comunidad de estudio) de
manera relativamente no problemática para la realización de nuevos tipos de
tareas y para el estudio de nuevas cuestiones. Mientras que algunas teorías
didácticas tienden a circunscribir su unidad de análisis en I4, la
TAD postula que no es posible explicar las características del “saber
aprendido” (ni ninguno de los fenómenos didácticos que emergen en I4)
sin tomar en consideración todas las etapas de la transposición.
 |
|||
|
|||
|
|
|
|
 |
Además, como que
la unidad de análisis de los procesos
didácticos debe contener una organización didáctica escolar que permita
construir, como mínimo, una OM local
relativamente completa, podemos precisar un poco su dinámica. En efecto,
una tal OM local puede reconstruirse “artificialmente” en la institución
escolar como el resultado final de un proceso de ampliaciones y completaciones
progresivas que, partiendo de una praxeología puntual, pasa por una serie de praxeologías intermedias generadas
sucesivamente por un determinado desarrollo evolutivo de las cuestiones
problemáticas y los tipos de tareas asociados que serán las “razones de ser” de
la OM local en I3. Por lo tanto, la organización o praxeología didáctica d(OM), asociada a dicha OM local, contiene en
cierta forma a la OM local y a todas las OM que la preceden en el proceso de
construcción. Podemos tomarla, provisionalmente, como la unidad de análisis de los procesos didácticos.
Sobre la
organización didáctica d(OM) inciden las restricciones que provienen de las diferentes etapas
de la transposición didáctica. Dichas restricciones se manifiestan tanto en la
OM efectivamente enseñada[12], como en la OM a enseñar y en la OM aprendida.
(a) La OM a enseñar constituye un modelo
praxeológico de las matemáticas propuestas en el diseño curricular. La base
empírica que debe utilizarse para elaborar este modelo se encuentra en los
documentos curriculares (programas oficiales) y en los manuales o libros de
texto. Su influencia sobre la forma de organizar el estudio escolar de las
matemáticas y sobre la OM enseñada es crucial a pesar de que,
normalmente, ni el profesor ni la institución escolar disponen explícitamente
de este modelo. La matemática a enseñar no se le presenta al profesor como una
OM estructurada y provista de una “razón de ser”, sino más bien como un
conjunto de materiales praxeológicos (tareas, técnicas y elementos tecnológicos)
bastante desarticulados.
(b) Pero estas
restricciones provenientes de la OM a enseñar no pueden ser adecuadamente interpretada si no disponemos de un
punto de vista epistemológico. Este punto de vista nos lo proporcionará una OM de referencia cuya descripción debe
hacerse a partir de determinadas OM sabias que legitiman epistemológicamente el
proceso de enseñanza. La OM de referencia es la que utiliza el investigador
para realizar su análisis. No debe coincidir necesariamente con la OM sabia de
la que, en cierta manera, “proviene”, aunque se formula en términos próximos a
ésta y a la OM a enseñar. La OM de referencia es la que el investigador pone a
prueba en contraste con la contingencia y la que está sujeta a modificaciones
permanentes.[13]
(c) Finalmente,
la organización didáctica d(OM) dependerá de las
restricciones transpositivas que provienen de las características de la OM aprendida a la que conducirá el proceso
didáctico y, también, de la manera cómo la institución escolar interprete los objetivos
de este proceso. La organización didáctica d(OM) dependerá, asimismo, de
la naturaleza de las OM disponibles por la comunidad de estudio (esto es,
construidas previamente), así como del tipo de “disponibilidad” de las mismas.
Asumimos, por tanto, una exigencia
metodológica según la cual el análisis (y hasta la mera formulación) de los
problemas didácticos debe tomar en consideración todas las etapas de la transposición didáctica. Esto implica, en
particular, la necesidad de utilizar los datos empíricos que emergen de todas y
cada una de las instituciones citadas.
 |
Además, en cada institución, las OM locales
se construyen a partir de OM puntuales y su articulación da lugar a las OM
regionales. Aparece así una dinámica
transpositiva endógena, o intrainstitucional, que tiene lugar dentro de
cada una de las citadas instituciones, que se superpone a la dinámica transpositiva exógena o
interinstitucional descrita, que tiene lugar entre las diferentes
instituciones.
La
elección de la praxeología didáctica d(OM), asociada a una OM local relativamente completa,[14] como unidad de análisis de
los procesos didácticos comporta, naturalmente, la aceptación implícita de
determinadas hipótesis sobre el funcionamiento de dichos procesos y, también,
sobre la naturaleza de lo que la TAD considerará como “problemas didácticos”.
El primer argumento para justificar esta elección está basado en la unidad
estructural de la misma, esto es, en la indisociabilidad entre
los diferentes objetos que componen una OM local (tanto entre los bloques
práctico-técnico y tecnológico teórico, como entre los componentes internos de
cada uno de los bloques). Pero hay un segundo argumento a favor de nuestra
elección de la unidad mínima de análisis de los procesos didácticos, se trata
de la unidad funcional de la praxeología didáctica que
hace posible, gracias a la dinámica interna de los momentos o dimensiones del
proceso de estudio, reconstruir OM locales en una institución escolar
determinada.
Podemos
decir, en resumen, que el criterio en que nos basamos para elegir la unidad de
análisis de los procesos didácticos descansa sobre el postulado de la unidad
estructural y funcional entre las OM locales relativamente completas y las OD =
d(OM)
asociadas (Bosch, Fonseca y Gascón,
2004).
3.3. Ejemplo: la unidad de análisis del proceso de estudio
de los límites de funciones
Hemos
visto que la TAD propone ampliar la unidad de análisis más allá del nivel
puntual para situar en el nivel de las OM locales el ámbito mínimo inexcusable
en el que deben plantearse y abordarse los problemas didácticos. En el ejemplo
citado anteriormente (Baker, Cooley y Trigueros, 2000) nos faltan datos para
poder explicar los hechos didácticos puesto que no sabemos nada de la OM a enseñar
ni de la OM efectivamente enseñada. Las autoras del trabajo no ven
la necesidad de tomar en consideración los datos empíricos que podrían arrojar
las instituciones en las que viven dichas OM. Afirman que la tarea matemática
propuesta a los estudiantes es “no rutinaria” lo que debe interpretarse, en
primera instancia, no en relación a la naturaleza de los esquemas construidos
por los alumnos, sino como el resultado lógico de la ausencia de una técnica
institucionalizada adecuada para resolver ese tipo de problemas. La hipótesis
de esta ausencia, que es compatible con los datos empíricos obtenidos en dicho
trabajo, comportaría que en la institución en cuestión no se ha construido
ninguna OM local en torno a este tipo de problemas lo que explicaría las
dificultades que encuentran los estudiantes para construir espontáneamente una
técnica tal como la tabla de variación (Gascón,
2002):
 |
|
x
|
– ¥
|
(– ¥, – 4)
|
– 4
|
(– 4, – 2)
|
– 2
|
(– 2, 0)
|
0
|
(0, 3)
|
3
|
(3, 5)
|
5
|
(5, ¥) ¥
|
     
h(x)
|
¥
|
Decrece
Convexa
|
cúspi
de
|
Crece
Convexa
|
i
|
Crece
Cóncava
|
2
|
Crece
Convexa
|
M
|
Decrece
Convexa
|
i
|
Decrece – 2
Cóncava
|
|
h’(x)
|
¿?
|
–
|
No
existe
|
+
|
0
|
+
|
¥
|
+
|
0
|
–
|
¿
|
– 0
|
|
h’’(x)
|
¿?
|
–
|
No existe
|
–
|
0
|
+
|
0
|
–
|
–
|
–
|
0
|
+ 0
|
El problema se
traslada así, en primera instancia, del ámbito
cognitivo de los sujetos de la institución al ámbito institucional y a las condiciones ecológicas que restringen
la posibilidad del estudio de determinado tipo de OM en una institución
determinada. Así, en nuestro caso, deberíamos poder responder a las siguientes
cuestiones:
¿Cuáles son las restricciones que impiden (o
dificultan) la reconstrucción –en una institución escolar determinada– de una
OM local en torno a la representación gráfica de funciones que contenga la
técnica de la tabla de variación u otra técnica equivalente? ¿Cuáles de estas
restricciones provienen de la naturaleza de la OM a enseñar y de la OM efectivamente
enseñada?
Ante esta
reformulación del problema queda claro que nos faltan datos empíricos relativos
a la actividad matemática institucionalizada (provenientes de los libros de
texto utilizados, documentos oficiales, cuadernos de los estudiantes, actividad
del profesor y de los alumnos en clase, etc.).
Podemos
citar otro ejemplo en el que si disponemos de estos datos empíricos, esto es,
en el que sí hemos situado el problema didáctico en el ámbito de la unidad
mínima de análisis de la TAD (Bosch, Espinoza y Gascón, 2003). Con este ejemplo
ilustraremos la necesidad de incluir en el análisis del proceso didáctico no
sólo la OM efectivamente enseñada junto a su OD asociada, sino también todas
las etapas de la transposición didáctica presentadas en el esquema anterior.
(1)
Partimos de la constatación de un
conjunto de errores persistentes que cometen los estudiantes españoles de
Enseñanza Secundaria relacionados con el estudio del tema “límites de
funciones”:
a. Los alumnos confunden el límite de una
función en un punto con el valor de la función en dicho punto y, en
consecuencia, tienden a considerar que las funciones son continuas en todos los
puntos de su dominio (lo que, por otra parte, es cierto para una amplia clase
de las funciones que se manejan en la Enseñanza Secundaria).
b. Los alumnos no pueden explicar ni
justificar porqué el límite de una función f(x) en un punto x
= a se calcula, en algunos
casos, substituyendo la variable x por a, mientras que en otros casos es
necesario realizar ciertas transformaciones algebraicas sobre la expresión de f(x). Como no
pueden distinguir en qué casos han de actuar de una manera o de la otra,
utilizan arbitrariamente una u otra técnica.
c.
Para
justificar el valor del límite de una función f(x) en un punto x
= a, los alumnos utilizan
una tabla de valores de la función en la que dan a x valores “que se acercan” al valor a. Si la
sucesión de imágenes (de una única sucesión) parece tender hacia un número l, entonces
concluyen que l es el límite de la función f(x) en el punto x
= a.
(2)
Este conjunto de hechos, que
tienen lugar en la OM aprendida y que se
repite en los diferentes procesos didácticos observados, puede ser explicado a
partir de las restricciones que la naturaleza de la OM enseñar impone
a la OM efectivamente enseñada, sin necesidad de recurrir
a argumentos relacionados con la naturaleza de los “procesos cognitivos” de los
alumnos (Bosch, Espinoza y Gascón, 2003).
a.
En lo que respecta al cálculo de límites de funciones,
hemos constatado que la OM efectivamente enseñada
identifica “función” con “expresión algebraica”.
b. Para calcular un
límite en la OM enseñada se utiliza,
en algunos casos, la técnica de la tabla de valores, en otros la manipulación
de la expresión algebraica de la función y, en otros, la mera substitución.
Nunca se justifica la elección realizada (por que la tecnología de la que se
dispone no lo permite).
c.
El discurso tecnológico que se presenta en la OM enseñada es meramente decorativo y
formal y no resuelve ninguna de las necesidades de justificación e
interpretación de la práctica matemática que se lleva a cabo.
d. A falta de un
discurso tecnológico pertinente y funcional, se atribuye un papel tecnológico a
la gráfica de la función y a la tabla de valores.
e.
En la OM enseñada se fracasa en todos los intentos de “motivar” la noción de
límite de una función en un punto
(esto es, presentar un problema al que dicha noción de respuesta). Ello es
debido a la “imposibilidad” de relacionar esta noción con el tema del cálculo de límites que es el objetivo
efectivo del proceso de estudio.
(3)
Se constata que la OM a enseñar es
una OM “bicéfala” que se compone de elementos provenientes de dos OM sabias:
(a) La OM que responde al problema del cálculo del
límite de funciones elementales y cuyas técnicas reposan en
el “álgebra de límites”.
(b) La OM que
responde al problema de la existencia del límite de una
función, cuya tecnología se basa en la definición de límite tipo “e - d” y en los teoremas de
convergencia de sucesiones de números reales.
La OM a enseñar
aparece así como la unión disjunta de un
bloque práctico-técnico que proviene de la OM en torno al cálculo de límite y
un bloque tecnológico-teórico, bastante testimonial y decorativo, que proviene
de la OM que responde al problema de la existencia del límite. Además la “razón
de ser” de la OM efectivamente enseñada en torno al cálculo del límite de
funciones elementales está ausente de la OM escolar (tanto de la OM a enseñar como
de la OM efectivamente enseñada). En efecto, la definición de
“continuidad” de una función, que suele presentarse como la “razón de ser” de
la OM en torno a los límites de funciones (esto es, como la noción matemática
que justifica su estudio), no puede jugar ese papel puesto que las técnicas que
se proponen para calcular límites de funciones utilizan implícitamente –cayendo
en flagrante circularidad– la continuidad de dichas funciones.
Este
ejemplo, que hemos presentado aquí de manera muy esquemática, ilustra muy bien
hasta qué punto la estructura y la dinámica de la OM aprendida
–y, en consecuencia, los hechos didácticos de los que son protagonistas los alumnos–
no se pueden explicar sin tomar en cuenta las características de las OM que
aparecen en todas las etapas de la transposición didáctica. Esto no significa
que estemos propugnando una especie de determinación causal en una única
dirección. Como muestran los trabajos recientes de Antibi y Brosseau sobre la “destransposición
didáctica” (Antibi y Brousseau, 2000 y 2003), las
restricciones transpositivas actúan en los dos sentidos. No sólo es cierto que
la OM aprendida depende esencialmente de la OM a enseñar y la OM efectivamente
enseñada sino que, recíprocamente, algunos aspectos importantes de la OM
efectivamente enseñada y de la forma como el profesor organiza dicho proceso de
estudio dependen de las restricciones impuestas por la OM aprendida.
Así, por ejemplo, los estudiantes pueden “exigir” a través del contrato
didáctico que las OM enseñadas verifiquen determinadas condiciones para poder
considerarlas como “estudiables”: que las tareas matemáticas sean puntuales y
bien delimitadas, que cada tarea tenga asociada una sola técnica, que cada
“unidad de evaluación” (normalmente identificada con un tema)
contenga únicamente unas pocas técnicas y que la tecnología correspondiente sea
“práctica” y ligera, etc. Estas restricciones llegan a alcanzar, con el tiempo,
a la OM a enseñar puesto que la noosfera no es impermeable a los
hechos didácticos que se repiten sistemáticamente en el aula. Tenemos, en
resumen, un conjunto de restricciones que operan, en los dos sentidos, entre
las diferentes etapas de la transposición didáctica y que refuerzan la
necesidad de incluir todas esas etapas en la unidad mínima de análisis de los
procesos didácticos.
4. LA PRAXEOLOGÍA LOCAL COMO UNIDAD BÁSICA DE ANÁLISIS
Tomando como punto
de partida el problema de Pólya, hemos mostrado que la unidad mínima de análisis de los procesos
didácticos está constituida por la praxeología
didáctica local que incluye no sólo las OM que van apareciendo en las
diferentes instituciones a lo largo de la transposición didáctica
interinstitucional (eso es, la OM a
enseñar, la OM efectivamente enseñada
y la OM aprendida), sino también las
OM que se van desarrollando dentro de cada una de dichas instituciones
(transposición didáctica intrainstitucional). Es en este sentido que se puede
afirmar que los fenómenos de transposición didáctica están en el corazón de
todo problema didáctico y, en consecuencia, de la didáctica de las matemáticas.
En esta sección queremos sugerir que esta unidad mínima es, además, básica porque todo problema didáctico
planteado en los niveles superiores de codeterminación debe proyectarse, para
su formulación precisa y posterior estudio, en sus componentes locales y
analizarse, en primera instancia, en dicho nivel local.
El problema de Pólya es un ejemplo de
problema docente que se plantea normalmente o bien en el nivel puntual o bien en el nivel disciplinar. Ya hemos mostrado la
necesidad de situarlo en un ámbito más amplio que el nivel puntual, en un
ámbito que contenga como mínimo el nivel local.
¿Significa esto que el problema de Pólya puede abordarse directamente en los
niveles más genéricos como, por ejemplo, en el nivel disciplinar? El desarrollo
histórico del Problem Solving, empezando por la evolución de los trabajos del
propio George Pólya (1945, 1954 y 1962-65), muestran claramente el fracaso de
todos los intentos de abordar el problema de Pólya en el nivel disciplinar.
Estos fracasos se refieren tanto al intento de resolver el problema docente en el nivel disciplinar, esto es, al intento de
enseñar a resolver problemas “de matemáticas” sin más especificidad (Pólya, 1962-65; Landa, 1972; Schoenfeld,
1985) como al intento de resolver el correspondiente problema de investigación didáctica planteado en el nivel
disciplinar, esto es, al intento de explicar las dificultades con las que
chocan las instituciones docentes para conseguir que los alumnos sean capaces de
construir y utilizar adecuadamente estrategias
complejas para resolver “verdaderos” problemas de matemáticas[15].
En
esta última sección pretendemos poner de manifiesto y ejemplificar el carácter
privilegiado del citado nivel local (o temático) como
ámbito de referencia de todo análisis didáctico. Postulamos que los problemas
de investigación didáctica que suelen plantearse a nivel disciplinar, esto es, en el ámbito de las matemáticas escolares en
su conjunto[16] o, en general, los problemas didácticos que se plantean
en los niveles más genéricos que el nivel temático, deben reformularse y
abordarse, en primera instancia, en el ámbito de ciertas OM locales y, en segunda instancia, en el
ámbito de la articulación de dichas OM locales en OM regionales. La razón de esta necesidad reside en que es
efectivamente en el nivel de las interrelaciones entre diferentes tipos de
tareas, en el de la evolución progresiva de las técnicas disponibles para
abordar dichas tareas y en el de las descripciones, interpretaciones y
justificaciones que unifican y dan sentido a esa práctica matemática
institucional, esto es, en el nivel local (relativo a dicha institución) en el
que las manifestaciones de los fenómenos didácticos pueden ser contrastadas
empíricamente.
Incluso
los fenómenos didácticos de amplio alcance cuya formulación habitual los sitúa
en el nivel disciplinar (como, por ejemplo, el citado fenómeno
de la desarticulación del currículum de matemáticas), se manifiestan mediante una serie de hechos cuya
contrastación empírica y cuya primera interpretación tiene que llevarse a cabo
en el nivel de las OM locales. Así, Guy
Brousseau indica que en los sistemas actuales de enseñanza de las matemáticas:
El alumno […] debe, no sólo aprender
nuevos conocimientos, sino también re-aprender y re-organizar los antiguos y
olvidar –o más bien des-aprender– una parte. […] Actualmente, la integración de
los conocimientos nuevos a los antiguos se deja completamente a cargo del
alumno (Brousseau, 1989, p. 6).
Teniendo
en cuenta lo que Brousseau entiende por “aprender nuevos conocimientos”,
podemos considerar que el hecho didáctico descrito se produce en el nivel
local. Postulamos que el hecho de que
en las actuales OD escolares ni siquiera se pretenda organizar las cuestiones
matemáticas que se proponen para ser estudiadas de tal manera que se posibilite
reorganizar, re-aprender y des-aprender los conocimientos antiguos para
proseguir el proceso de estudio, constituye el origen del fenómeno de la desarticulación del currículum
de matemáticas.
Consideramos, por
tanto, que para abordar cualquier problema didáctico será preciso empezar por
analizar la ecología de las praxeologías
locales involucradas, esto es, las restricciones y las condiciones de
posibilidad de la reconstrucción escolar de las mismas. Lo anterior significa
que para tratar efectivamente un problema didáctico se requiere descender hasta
el nivel de determinación local porque
es en este nivel donde, por primera vez, el proceso (OD) y el producto (OM)
constituyen una unidad indivisible
cuyos componentes se implican mutuamente[17].
A fin de ejemplificar la pertinencia de
nuestra hipótesis relativa al carácter básico
de las praxeologías locales, utilizaremos los resultados de nuestras
últimas investigaciones sobre las discontinuidades matemáticas y didácticas en
el paso de la Enseñanza Secundaria a la Enseñanza Universitaria (Fonseca 2004;
Bosch, Fonseca y Gascón 2004). Se trata de un problema que suele formularse en el
nivel disciplinar (e, incluso, en los
niveles pedagógico y hasta escolar) aunque también se plantea en
ocasiones en el nivel inmediatamente inferior (el del área) como, por ejemplo, cuando se analizan los cambios que se
producen en la enseñanza y el aprendizaje del Cálculo diferencial e integral
cuando se pasa de la Enseñanza Secundaria a la Enseñanza Universitaria. Los
resultados obtenidos en nuestras investigaciones nos permitirán ilustrar con un
ejemplo prototípico porqué este problema didáctico no puede resolverse en el
nivel disciplinar, como tampoco podría resolverse permaneciendo en el nivel
puntual.
La citada investigación incluía un estudio
experimental en el que se pasaba un cuestionario a una muestra de estudiantes
que iniciaban sus estudios en diferentes universidades españolas. Dicho estudio
puso en evidencia un conjunto de hechos didácticos de entre los que destacamos
los siguientes:
- Es muy raro que los estudiantes sean
capaces de utilizar dos técnicas alternativas para realizar tareas de un
mismo tipo, aunque éstas sean tan simples como la resolución de una
inecuación polinómica de segundo grado, el cálculo de un porcentaje, la
derivada de una función elemental o el cálculo de la mediatriz de un
segmento.
- Las técnicas que emplean los estudiantes
son tan poco “robustas” que “no resisten” un cambio de la notación
empleada habitualmente. Así, por ejemplo, la tarea aumenta
significativamente de dificultad cuando se cambia el nombre habitual (“x”) de la variable de derivación o
de integración, o cuando se expresan los radicales en notación
exponencial.
- Es muy poco frecuente que los
estudiantes sean capaces de invertir una técnica matemática para realizar
la tarea inversa de una tarea escolar elemental como, por ejemplo,
escribir un sistema de ecuaciones lineales del que se conocen las
soluciones o un polinomio de tercer grado del que se conocen sus tres
raíces.
- Los estudiantes tienen enormes
dificultades cuando han de elaborar un pequeño discurso tecnológico para
describir, interpretar o justificar algún aspecto de su práctica
matemática como, por ejemplo, los resultados obtenidos al aplicar una
técnica matemática.
Nuestra
investigación también incluía un análisis de los libros de texto de mayor
difusión en la Enseñanza Secundaria española utilizando los ítems del mismo
cuestionario. La “respuesta” que proporcionan los libros de texto pone muy
claramente de manifiesto que las OM a
enseñar presentan características muy similares a las que sugerían las
respuestas de los alumnos: utilización de una notación fija, inexistencia (con
poquísimas excepciones) de técnicas “rivales” para la realización de un mismo
tipo de tareas, presencia muy escasa de las tareas “inversas” a las tareas que
se proponen, ausencia de discurso tecnológico en el topos del alumno y subexplotación del carácter generativo de los
ingredientes tecnológicos presentes[18].
Se constata,
en resumen, que las OM que se estudian en la Enseñanza Secundaria son
puntuales, rígidas y aisladas (en el sentido de poco articuladas entre sí). En
el mismo trabajo se pone de manifiesto que, ignorando esta situación, en la
Enseñanza Universitaria no se retoman las OM que se han estudiado en Secundaria
a fin de cuestionarlas, mostrar sus limitaciones e integrarlas en OM más
amplias y completas. Se muestra, en definitiva, que el núcleo del problema del
paso de estudiar matemáticas en Secundaria a estudiar matemáticas en la
Universidad puede formularse en términos de las restricciones que dificultan y
hasta impiden la reconstrucción escolar de OM locales relativamente completas en la Enseñanza Secundaria y,
correlativamente, en las restricciones que en la Enseñanza Universitaria
cronifican este fenómeno amplificando sus consecuencias negativas.
Cualquier
intento de abordar de manera didácticamente fundamentada el problema del paso
de estudiar matemáticas en Secundaria a estudiar matemáticas en la Universidad
y, en particular, cualquier intento de modificar las OM que se estudian y la
manera cómo se estudian en ambas instituciones, deberá comenzar por plantear el
problema de diseñar una OD capaz de reconstruir OM locales relativamente completas. Es en este sentido que decimos que
las praxeologías locales constituyen la unidad básica tanto para analizar como para modificar los procesos
didácticos.
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[1] Este trabajo ha sido realizado en el marco
del proyecto BSO2003-0400 de la DGICYT (MCT, España). Una primera versión del mismo fue presentada en la 12e
École d’Été de didactique des mathématiques celebrada en Corps
(Francia) en agosto de 2003.
[4] En su trabajo de tesis, Rafael Roa pone de manifiesto las grandes
dificultades que tienen los alumnos de los últimos cursos de la licenciatura de
matemáticas para resolver problemas combinatorios que forman parte del
currículum de la Enseñanza Secundaria Obligatoria. Se demuestra así, en un caso
bastante extremo, que la capacidad de construir y utilizar adecuadamente
estrategias de resolución de problemas (en este caso de problemas de contar) no se desarrolla de manera “espontánea” ni siquiera en adultos que
poseen una preparación matemática avanzada.
[5] N. L. Landa llevó a cabo una investigación sobre la resolución de
problemas de demostración geométrica en la puso de manifiesto que el
conocimiento de las propiedades geométricas que se necesitan para realizar las
demostraciones es absolutamente
insuficiente para que los estudiantes construyan efectivamente las
estrategias complejas de demostración geométrica (Landa, 1972, pp. 103-122).
[6] En la 12e
École d’Été de didactique des mathématiques (Corps, Francia 2003) la
primera versión de este trabajo se presentó dentro del tema: Pourquoi modéliser les connaissances ?
[7] En el currículum de matemáticas de Bachillerato, la Geometría es una
de las áreas de las matemáticas y la
Trigonometría es uno de los sectores
de la Geometría (Ministerio de Educación, C. y D., 2001).
[8] La
utilización del cálculo matricial para estudiar sucesiones recurrentes con
coeficientes constantes “trivializa”, en cierta manera, el problema
considerado. Si ponemos An
= M·An-1 donde
M
= y An
= (an ; an - 1),
entonces el
cálculo del límite de la sucesión {an}
depende del límite de Mn
que se obtiene de manera rutinaria diagonalizando M. Señalemos de pasada que
este estudio permite relacionar las series recurrentes con coeficientes enteros
con los diferentes sistemas matemáticos o extramatemáticos que pueden ser
modelizados mediante una matriz de
transición. El estudio del estado final de estos sistemas proporciona una
razón de ser (situación fundamental) al estudio de la convergencia de este tipo
de sucesiones y, más en general, a la diagonalización de matrices con
coeficientes enteros (Fonseca 2004).
[9] Así, por ejemplo, Landa (1972) y Gascón (1989) proponen una
interpretación de los trabajos de Pólya dentro de la problemática de la
elaboración de estrategias de resolución
de clases de problemas, lo que situaría el problema de Pólya en el nivel
que hemos denominado local.
[10] Puntuales si responden a la realización de un único tipo de tareas; locales si agrupan diferentes tipos de
tareas y de técnicas alrededor de un discurso tecnológico común y regionales si integran diferentes
organizaciones matemáticas locales unificadas por una teoría matemática común
(Chevallard, 1999).
[11] En un trabajo anterior
hemos introducido la noción de “completitud
relativa” de una OML. No existen OML “completas”
ni de OML “incompletas”. Se trata, en
todos los casos, de una cuestión de grado: existen OML más o menos “completas”
que otras en función del grado en que sus componentes cumplen las condiciones
descritas por los siete indicadores siguientes: (1) Integración de los
diferentes tipos de tareas; (2) Existencia de diferentes técnicas para realizar
un mismo tipo de tareas y posibilidad de elegir entre ellas; (3) Independencia
(relativa) entre las técnicas matemáticas y los ostensivos que se utilizan para
describirlas y para aplicarlas; (4) Posibilidad de invertir las técnicas para
realizar las tareas “inversas”; (5) Existencia de las tareas consistentes en
interpretar el resultado de aplicar las técnicas; (6) Existencia de tareas
matemáticas “abiertas” y (7) Incidencia de los elementos tecnológicos sobre la
práctica matemática. Si nos fijamos
en el proceso de construcción, y no
sólo en el producto construido, el
grado de completitud de una OML depende del cumplimiento de las condiciones
“didácticas” formuladas en términos de los seis momentos o dimensiones de la
actividad matemática (Bosch, Fonseca y Gascón, 2004).
[12] Llamamos OM efectivamente
enseñada a una interpretación teórica (en términos de praxeologías) de la
actividad matemática desarrollada en una institución concreta, que tiene lugar
en un periodo histórico determinado y que es protagonizada por una comunidad de
estudio particular. Se puede construir a partir de los elementos empíricos que
aparecen en el trabajo matemático desarrollado en el aula por los alumnos y el
profesor, de manera cooperativa, a lo largo del proceso de estudio. Para
construir la OM efectivamente enseñada se debe elaborar una praxeología
matemática que incluya todos los componentes de la actividad matemática
desarrollada en dicho proceso.
[13] Se trata de la elaboración y contraste
experimental de modelos epistemológicos de las matemáticas elaborados por la
didáctica de las matemáticas para poder abordar problemas didácticos. Es en
este sentido que Guy Brousseau consideró inicialmente a la didáctica de las
matemáticas como una epistemología
experimental (Brousseau, 1986 y 1998).
[14] A partir de este momento, si no se dice explícitamente lo contrario,
siempre que hablemos de OM local nos
referimos a una OM local relativamente
completa. Supondremos asimismo que la d(OM) asociada incluye las OM
que van apareciendo en los sucesivos estadios de la transposición didáctica.
[15] El estudio de este problema, utilizando la praxeología didáctica local como unidad de análisis de los procesos
didácticos, constituye una de las
actuales líneas de trabajo de nuestro grupo de investigación.
[16] Entre los problemas didácticos que suelen plantearse a nivel
disciplinar podemos citar: los relativos al problem
solving (entre las que destaca el propio problema de Pólya), los que hacen
referencia al aprendizaje escolar de la demostración
y los relativas al uso de la modelización
matemática en las instituciones escolares ya sea como un medio para
aprender matemáticas o como un fin del aprendizaje en sí mismo.
[17] Así, los componentes de
una OM local (relativamente completa) a medida que van siendo producidos sirven
de instrumentos necesarios de la actividad que los ha engendrado y,
recíprocamente, los diferentes momentos de una OD local no sólo son
interdependientes (porque cada uno de ellos es imprescindible para la
existencia de los demás) sino que, además, la dinámica interna que liga dichos
momentos es también imprescindible para producir los componentes de la OM
local. Resulta, en resumen, que la OM local aparece como producto de de un proceso
d(OM) del que
es inseparable.
[18] El hecho de que la relación
personal de los alumnos a las OM esté básicamente determinada por la
correspondiente relación institucional
a dichas OM, confirma una vez más una de las tesis fundamentales del enfoque
antropológico.
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